자코비안 행렬 (Jacobian matrix)에 대해 알아보기

자코비안 행렬 (Jacobian matrix)에 대해 알아보도록 하자. 자코비안 행렬 (Jacobian matrix)는 쉽게 말해서 다변수 함수의 미분이라고 보면 된다. 혹은 자코비안 행렬 (Jacobian matrix)는 다변수 함수의 편미분을 행렬에 모아둔것이라 봐도 되겠다. 미분을 자코비안 행렬에 보관함으로써 편해지기 때문에 자코비안 행렬 (Jacobian matrix)를 다루곤 한다.

 

목차

 

자코비안 행렬 (Jacobian matrix)의 정의

입력변수가 $n$개이고 출력변수가 $n$개인 함수 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$가 있다고 하자.  입력변수가 $n$개라고 했으니 $\mathbf{x} = (x_1,....,x_n)^T$으로 표시할 수 있다. 그리고 출력변수가 $n$개라 했으니 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = (f_1 (\mathbf{x}),..., f_n(\mathbf{x}))^T$라고 표시해보자. 함수 $f$의 $\mathbf{x}$ 위에서 자코비안 행렬 $J_f (\mathbf{x})$의 $i$번째 행 $j$번째 열의 원소는 아래와 같이 정의된다.

$$J_f(\mathbf{x})_{ij} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i} (\mathbf{x})$$

즉 자코비안 행렬의 $ij$번째 원소는 $\mathbf{f}$의 $j$번째 출력 $f_j$에 관하여 $i$번째 변수인 $x_i$로 편미분한 결과이다.